یاس

هفته گذشته يكي از دوستان عزيز مطلبي از آقاي دكتر صديق سروستاني در مورد نقد بخشي از كتاب توسعه و تضاد آقاي دكتر رفيع پور را برايم فرستاد و چون داراي نكته مهمي بود تصميم گرفتم در مورد آن مطالبي را بيان دارم . اولين و مهمترين نكته مربوط به نوع ادبيات اين نوشته است ادبياتي كه به سختي مي توان آن را نگارش يك استاد دانشگاه دانست به همين دليل قبل از هر مطلب ديگري تاسف خودم را از اين موضوع ابراز مي نمايم. براي روشن شدن مطلب بد نيست به نمونه اي از ادبيات نويسنده محترم توجه نماييم : «ایشان را بسیاری از دانشگاهیان از دانشجو و استاد و کارمند ، به غیر منطقی بودن، غیر نرمال بودن و بی انصاف بودن و دیکتاتور بودن و نوچه پرور بودن و تیول داری می شناسند. فکر می کنید چه کسی در سی سال گذشته راه را بر بحث و فحص دانشگاهی بسته، چه کسی در کلاس هایش گاه حتی اجازه ی سؤال کردن هم نداده و سؤال کننده را توبیخ کرده و از امتحان انداخته ؟! ثالثاً خدا وکیلی، رفیع پوری که در سرمای زیر صفر زمستان می رود و دو زانو و به سختی پای درس آقای وحید خراسانی در مسجد اعظم قم می نشیند که متون کهنه تکراری را گوش کند، یک هزارم، یک میلیاردم این تواضع را کسی در عمر دانشگاهی اش به ویژه در کلاس هایش از او (و امثال و اصحاب او) دیده ؟!» جالب آنكه ايشان اين شيوه خود را مبتني بر سنت نقد عالمانه صاحبان انديشه مي دانند. آنجا كه خطاب به آقاي سليماني (فرد ديگري كه در اين مباحثه شركت كرده) مي نويسند : « کارهای سی رایت میلز جوان جوانمرد آزاده را بخوانید تا بدانید چطوری زده ریخت و شکل یک غول بی خود باد کرده ی جهان سرمایه داری مثل تالکوت پارسونز را عوض کرده و پاک باد حضرت ایشان را خالی کرده. چه اسطوره ای، چه کشکی؟! خوب است که همین دو ترم پیش ردیه ی هربرت گنز را بر کار اهالی مکتب شیکاگو و ردیه ی کلود فیشر را بر کار گنز و ردیه ی دیگران را بر کار فیشر در کلاس شهری ارشد خوانده اید و دیده اید که همه ی تلاش صاحبان اندیشه در غرب، اتفاقاً اسطوره زدایی، نقد عالمانه و اندیشمندانه و مستند است.» اما متاسفانه قضاوت آقاي دكتر با واقعيت فاصله بسيار دارد . امروز هركتاب خواني مي تواند كتاب سي رايت ميلز كه به فارسي نيز ترجمه و منتشر شده را ورق بزند و ببيند آيا او پارسونز را نقد كرده يا نظريه او را ؟ آيا نظريه پارسونز به اين دليل مورد نقد ميلز و ديگران قرار گرفته كه از نظر آنان شخصيتي .... بوده يا ايرادات منطقي و تجربي به نظريه او گرفته شده است؟ همينطور نقد هايي كه به نظريه مكتب شيكاگو و... گرفته شده است. بنابر اين قياس مذكور اگر نگوييم غير اخلاقي حداقل نابجا و غلط است. البته تنها ادبيات اين متن نيست كه تاسف برانگيز است بلكه محتواي نوشته نيز چندان عالمانه نگاشته نشده و نه تنها مدعاي نويسنده در رد و ابطال نظريه تغيير كاركرد دين آقاي دكتر رفيع پور را تاييد نمي نمايد بلكه به فضاي نقد علمي نزديك هم نمي شود زيرا: براساس متن ، آقاي دكتر صديق در پي نقد آقاي دكتر محدثي به فصل تغيير كاركرد دين كتاب توسعه و تضاد آقاي دكتر رفيع پور و پاسخ آقاي علي اشرف فتحي ، وارد مباحثه شده و متن مذكور را نگاشته اند. اما متاسفانه آنچه در نوشته ايشان غايب است اشاره اي هر چند گذرا به موضوع نقد است . در واقع خواننده با مطالعه نوشته آقاي دكتر صديق متوجه نمي شود نظريه ارائه شده در كتاب توسعه و تضاد در باره تغيير كاركرد دين چه بوده ، نقد آقاي دكتر محدثي به كدام جنبه آن معطوف است؟ پاسخ آقاي فتحي چه بوده ؟ و در نهايت ارزيابي آقاي دكتر از نظريه مذكور چيست ؟ و.... همانطور كه مي دانيم در منطق علم براي ارزيابي نظريه ها، ضوابط مدوني وجود دارد. ضوابطي كه بعيد است آقاي دكتر صديق با آنها آشنا نباشند. تا آنجا كه مي دانم در منطق علم نظريات از دو جنبه محتوا و صورت منطقي آن ارزيابي مي شوند و متاسفانه برخلاف آقاي دكتر صديق در هيچ كتاب روش شناسي ويژگي هاي شخصيتي صاحب نظريه ملاك رد ويا قبول نظريه معرفي نشده است. به همين دليل است كه در دنياي علم نقد فكر از نقد صاحب آن جدا مي باشد. اما ظاهراً در منطق جامعه شناسي زير زميني ايشان ، ويژگي هاي شخصيتي ، رفتاري ، گرايشات سياسي و... صاحب نظريه ضوابط جايگزين اصول ارزيابي نظريه هاي علمي شده است. فرض كنيم آقاي دكتر رفيع پور واجد تمام صفاتي است كه شمه اي از آن در سطور فوق ارائه شد. آيا وجود ويژگي ها و صفات مذكور بطلان نظريه ايشان در خصوص تغيير كاركرد دين در جامعه پس از پيروزي انقلاب را اثبات مي نمايد. يعني مي توانيم با توجه به توضيحات ايشان اين گزاره را صورت بندي كنيم «شخص X (نظريه پرداز مفروض) شياد است پس نظريه او در مورد تغيير كاركرد دين در جامعه غلط است؟» هنگامي كه اين سطور را مي نوشتم به ياد تلاش عظيم بنيانگذاران و بزرگان جامعه شناسي براي كسب وجه علمي براي اين رشته افتادم . همچنين تلاش¬هزاران دانشجويي كه در طول سال هاي اخير در صدد آموختن اين رشته برآمده اند درحالي كه با توجه به نوشته آقاي دكتر صديق به نظر مي رسد هم آن بزرگان به خطا رفته اند و هم سعي و تلاش دانشجويان بيهوده بوده و هست. اگر جامعه شناسي اين است كه آقاي دكتر صديق در نقد خود ارائه داده اند بهتر است ديگر كسي زحمت درس خواندن و دانشگاه رفتن را نكشد چرا كه اين گونه ديدن، انديشيدن و نوشتن را مي توان به نحو مطلوب تري سر هر كوچه و خياباني ياد گرفت.

فرض كنيد در حال رانندگي هستيم خيابان هم شلوغ است حال اگر راننده ماشين يا موتورسواري جلوي ما بپيچد عكس و العمل ما چه خواهد بود؟ من كه خيلي عصباني مي شوم اما دايره واكنش ها به اينجا ختم نمي شود بلكه در ادامه با انواع و اقسام الفاظ خاندان و نزديكان فرد(يا افراد خاطي)را مورد التفات ومرحمت خود قرار مي دهيم. تجربه نشان مي دهد در وضعيت هاي ديگري چنين عكس العمل هاي مشابه اي از خود نشان مي دهيم مثلاً هنگامي كه از دست مدير يك مسئول رده بالاتر، نماينده شوراي شهر يا مجلس، قاضي ، وكيل و... ناراحت مي شويم و رفتار و تصميمات اورا درست نمي دانيم چه واكنشي از ما سر مي زند؟ اما چرا فرهنگ و تربيت ما در وضعيت هاي پر تنش اين گونه است و چرا مخاطب ادبيات فحاشي ما نه فرد خاطي (از نظر ما) بلكه خانواده و نزديكان او است ؟ به نظر مي رسد اين امر مصاديقي بارزي در فرهنگ و تاريخ ما دارد براي مثال هنگام صحبت از دوران سلطنت مثلاً ناصرالدين شاه قاجار پس از ذكر موارد متعددي از مفاسد،خيانت ها و يا اهمال هاي و بي كفايتي هاي او ، در نهايت نتيجه مي گيريم كه تمام خاندان قاجار چنين بودند. و مثلاً شخصين فرهاد ميرزا را مشابه محمد شاه قاجار ارزيابي مي كنيم و هيچگاه در اين نظر خود ترديد روا نمي داريم كه تمام افراد خاندان قاجار افرادي فاسد و بي عرضه بودند و تمامي آنها اعم از زن، مرد و بچه هاي آنان را شريك جرم مشكلات مديريتي شاهان و حاكمان اين خاندان مي دانيم. شايد يكي از علل اين امر ، عدم تفكيك حوزه و سطوح كنش اجتماعي، در تفكر و قضاوت هاي ما باشد. ميراث فكري جامعه شناسي به ما مي آموزد اين ها كنش هاي جمعي هستند كه افراد در يك محيط عمومي و تحت تاثير كنش متقابل ديگران انجام مي دهند . در اين خصوص هابرماس سه سطح را از يكديگر تفكيك مي نمايد: سطح يا حوزه خصوصي (خانواده) ، حوزه عمومي و حوزه دولت بنابراين قضاوت در باره كنش هاي صاحب يك نقش در حوزه عمومي (مثلاً راننده اتوبوس يا تاكسي ) قابل تسري به نقش او در حوزه خصوصي و خانوادگي او نيست. به تعبير ديگر اگر از نظر ما راننده تاكسي يا اتوبوس بي عرضه و ناشي است به اين معني نيست كه او همسر يا پدري بدي نيز باشد و نمي توانيم او را در اين حوزه نيز مورد ملامت و شماتت قرار دهيم و از آن بدتر خانواده و نزديكان اورا مورد شماتت قرار دهيم. در نتيجه شاهد تلفيق و تركيبي از قوم مداري با منفعت طلبي آني در نحوه سلوك اجتماعي خود هستيم كه به دليل فقدان پذيرش تفكيك حوزه خصوصي از حوزه عمومي و حوزه دولت به شدت تشديد شده و منجر به بروز و ظهور اين گونه ارزيابي ها و قضاوت ها مي شود. به همين دليل ضعف مديريت يك مسئول دولت (حوزه دولت) موجب قضاوت در باره خاندان و نزديكان او مي شود يعني پاسخ و ارزيابي ما به آثار كنش اجتماعي افراد در حوزه هاي عمومي و يا دولت، در حوزه خصوصي داده مي شود. حال اگر اين ارزيابي مثبت بود پس تمام خاندان فرد مشمول تعاريف و تمجيد هاي ما مي شوند و اگر ارزيابي ما از كنش فرد منفي بود تمام خاندان او (به ويژه و در درجه نخست ) در دايره قضاوت هاي ما قرار مي گيرند.

مقدمه : مدتي قبل يكي از دوستان مقاله دكتر كاتوزيان با عنوان جامعه كوتاه مدت را براي مطالعه به من داد. پس از مطالعه ابهامات و سوالاتي برايم به وجود آمد و به نظرم رسيد شايد اين ابهامات براي ديگران نيز وجود داشته باشد و يا شايد دوستي متفكر پاسخ روشني براي سوالات من داشته باشند و ابهامات مذكور رفع گردد. قبل از هر مطلبي بايد اعلام كنم نظرات من معطوف به مقاله جامعه كوتاه نوشته آقاي دكتر محمد علي همايون كاتوزيان بوده كه توسط آقاي عبدالله كوثري ترجمه و در مجله بخارا شماره 68 و 69 منتشر شده است. تز اصلي نويسنده محترم آن است كه جامعه ايران برخلاف اروپا، جامعه اي است كوتاه مدت به اين معنا كه تداوم در سير و روند تاريخي ايران مشاهده نمي شود و اين امر را در ابعادي چون مسئله جانشيني،مشكل‌ مشروعيت‌ و جانشيني‌ فرمانروا،بي‌اعتبار بودن‌ مال‌ و جان‌ افراد و در نهايت مشكلات‌ انباشت‌ و توسعه‌ بررسي كرده اند. بحث و مشكل من با اين مقاله اتفاقاً از همين تز اصلي شروع مي شود و ترجيح مي دهم اين مشكل را در دو بعد مفهومي و روش شناختي دنبال نمايم و اگر موافق باشيد ابتدا از جنبه مفهومي بحث مي كنم. اولين مسئله مفهوم جامعه كوتاه مدت است. به اين معنا كه تعريف نويسنده از جامعه و سپس جامعه كوتاه مدت چيست؟ در تمام مقاله نويسنده هيچگاه به تعريف اين دو مفهوم كه از قضا نقش مهمي در تحليل او ايفا مي كنند و از عناصر محوري هستند، نپرداخته است. ضمن آنكه با توجه به رويكرد مقاله كه سعي در تفسير تمام تاريخ ايران دارد اين سوال مطرح مي شود كه آيا جامعه ايران با تاريخ مكتوب بيش از 3000 سال مي تواند يك جامعه كوتاه مدت و فاقد تداوم باشد؟ به همين دليل من فكر مي كنم منظور نويسنده بيشتر بعد سياسي جامعه ايران است و مثال ها و شواهد متعددي كه ارائه مي نمايند نيز تائيدي بر اين برداشت است. اما بر فرض صحت اين برداشت ، مشكل تقليل گرايي پيش مي آيد. در يك برداشت اوليه و آزاد از نظريات جامعه شناسي، جامعه از ابعاد و به عبارت بهتر نهادهاي متعددي تشكيل شده كه يكي از آنها سياست و حكومت است. بديهي است اين نهاد با ساير نهادها كنش متقابل داشته و ضمن تاثير بر آنها متقابلاً از آنها تاثير مي پذيرد. اما اين كه شرايط يك نهاد اجتماعي را به كل جامعه تعميم دهيم نه توجيه تئوريك دارد و نه توجيه روش شناختي . حال اجازه دهيد با نويسنده همنوايي كرده و جامعه ايران را جامعه كوتاه مدت بدانيم و همچون او «نشانه‌هاي‌ ماهيت‌ كوتاه‌ مدت‌ جامعه‌.... در سراسر تاريخ‌ ديرينة‌ ايران‌، خواه‌ دوران‌ پيش‌ از اسلام‌ و خواه‌ دوران‌ اسلامي‌» حاضر و ناظر بدانيم، اما چگونه مي توانيم تداوم شرايط جامعه ايران در دوره قبل از اسلام به ويژه دوره اشكانيان و ساسانيان را توجيه كنيم؟ به هر حال اين دو سلسله هر كدام بيش از چهار قرن حكمراني داشته اند. ضمن آنكه بايد توجه داشت بنابر نظر مرحوم زرين كوب در كتاب تاريخ مردم ايران (ج 1) انتقال حكومت ماد به هخامنشي و يا اشكاني به ساساني بيشتر انتقالي درون خانوادگي تلقي مي شده است. از طرف ديگر نقوش تخت جمشيد نشان مي دهد بزرگان ماد در دربار شاهان هخامنشي جايگاه خاصي داشتند. اين موارد را چگونه در قالب اين نظريه مي توان تفسير و توجيه كرد؟ از جنبه ديگر اين مقاله دنباله تلاش هايي است كه در گذشته براي ارائه طرحي كلان براي تاريخ بشريت ويا يك قاره ، كشور و طبقه و... ارائه شده است. به همين دليل همان مشكلات را نيز در خود دارد براي مثال در اين مقاله نويسنده تنها مشابهت وقايع را مورد توجه قرار داده وتفاوت ها را به كلي ناديده گرفته است. از طرف ديگر اغلب استنادات نويسنده به دوره حكومت غزنويان و ... است دوره اي كه سرزمين ايران تحت حكومت واحدي قرار نداشته و شاهد ظهور حكومت هاي محلي معارض يكديگر هستيم. به طوري كه همزمان با غزنويان، سلسله آل بويه در مناطق مركزي ايران، سامانيان در شمال و صفاريان در جنوب شرقي و... حكومت مي كردند. آيا مي توان شرايط و مقتضيات اين دوره را به كل تاريخ ايران تعميم داد؟ همچنين نويسنده مشخص نكرده آيا ديگر حكمرانان اين عصر از شيوه حكمراني غزنويان متابعت مي كردند و همان شرايط و ويژگي ها را اعتمال مي نمودند؟ سوال قابل طرح ديگر در مورد اروپا است. به زعم نويسنده جامعه اروپايي ، جامعه اي بلند مدت بوده است. در صورتي كه مي دانيم اروپا سرزميني است كه اقوام و ملل مختلفي در آن سكونت داشته و دارند و تاريخ آنان نيز علاوه بر مشابهت و قرابت ، داراي تفاوت هاي مهمي است مثلاً آيا شرايط ادعايي نويسنده در لهستان نيز مشاهده مي شود و اين نظريه بر تاريخ اين سرزمين نيز قابل اطلاق است؟ به نظر مي رسد نويسنده محترم يك فرضيه اي اختيار كرده اند و براي تاييد آن همواره به دنبال موارد و شواهد مويد مي گردند و ابايي ندارند كه تاريخ بلعمي و داستان حسنك وزير و .... را در اين خصوص مطرح سازند و هيچگاه نيز موارد نقض را مورد توجه قرار نمي دهند مواردي كه اتفاقاً قابل توجه بوده و با منظر روش شناختي نويسنده (حداقل در كتاب روش شناسي اقتصاد) يعني نظريه ابطال پذيري پوپر، مغاير است. در نهايت اين مقاله در بهترين حالت يك مقاله توصيفي است اما نويسنده محترم هيچگاه مكانيسم هايي كه (به زعم نويسنده) جامعه ايران را كوتاه مدت كرده است را مشخص نمي سازد. البته تلاش در جهت تحميل يك ديدگاه نظري به تاريخ، امري است كه در جامعه ما بسيار رخ مي دهد به خصوص علاقه مندان به نظريه هگل و مانند آن كه نظريه اي كلان در اختيار داشته و تنها بايد شواهد پيدا نمايند. به همين دليل اين مقاله نيز با معيار قرار دادن اروپا در صدد تفسيري از تاريخ ايران است ، آن هم نه يك مقطع و برض خاص بلكه تمام تاريخ طولاني آن اين مورد در كار آقاي دكتر طباظبايي نيز مشاهده مي شود براي مثال ايشان در كتاب نظريه انحطاط ايران با مشاهده رنسانس در اروپا در پي دوره مشابه اي است و آن را در قرن چهارم مي بيند و در نتيجه مي گيرد رنسانس ايران پيش از دوره سكون و ركود آن بوده و اين امر به دليل «خلاف آمد عادت » تاريخ ايران است. اما مشخص نيست اگر يك دانشجو مشابه چنين ادعايي را مطرح مي كرد ، از نظر ايشان پذيرفته بود؟ ضمن آنكه اگر هم اين را قبول كنيم اين مسئله چه نوري به تاريخ ما مي افكند؟

    اعداد مرکب:

 عدد مرکب عددی طبیعی بجز یک است که اول نباشد.

• پانزده عدد مرکب اول عبارت‌اند از:

۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ۱۲, ۱۴, ۱۵, ۱۶, ۱۸, ۲۰, ۲۱, ۲۲, ۲۴ و ۲۵

• قانون برای تمام اعداد مرکب وبزرگ ‌تر از ۵(فقط ۴ از این قاعده پیروی نمی‌کند) صدق می‌کند.

     اعداد گویا :

اعداد گویاحاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را می‌توان به شکل a/b یا  نوشت (که a و b اعداد صحیح‌اند).

در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با نمایشQ می‌دهند. به عنوان مجموعه‌ای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعه‌ای‌ست چگال از مجموعهٔ بزرگ‌تر و عمومی‌تر اعداد حقیقی.

به عنوان یک اشتباه نسبتاً رائج، گاهی اعداد کسری را با اعداد گویا یکی می‌دانند. این در حالی‌ست که، اعداد گویا فقط کسرهایی هستند که از تقسیم دو عدد صحیح حاصل‌آمده باشد.    اعداد گنگ:

عدد گُنگ، یا عدد اصم، هر عدد حقیقی است که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است. از معروفترین این اعداد می‌توان از π، e و ۲√ نام برد

  اعداد حقیقی:

مجموعۀ همۀ اعداد گویا و اعداد گنگ با یک‌دیگر را اعداد حقیقی (Real numbers) می‌گویند، که با نمایش Rداده می‌شود. اعداد حقیقی را می‌توان با اضافه کردن عدد موهومی ( ) بسط داد. اعدادی به فرم a + bi را که در آن‌ها a و b هر دو عدد حقیقی هستند، اعداد مختلط می‌نامند.

   عداد مختلط:

عدد مختلط عددی به شکل  است که a و b اعداد حقیقی‌اند و i یکهٔ موهومی با خصوصیت i² = -1 است (i را با J نیز نمایش می‌دهند). عدد a قسمت حقیقی و عدد b قسمت موهومی نامیده و نوشته می‌شود:

• I_mz = b
• R_ez = a

اعداد حقیقی نیز می‌توانند به عنوان اعداد مختلط با قسمت موهومی 0 در نظر گرفته شوند، یعنی عدد حقیقی a معادل است با عدد مختلط a + 0i.مجموعه اعداد مختلط را بصورت تعریف می‌کنیم.

  اعداد جبری:

اعداد جبری (طبق اصطلاحی که کرونکر ریاضی دان آلمانی بکار برد )، اعدادی هستند که جواب معادله‌ای به شکل زیر باشند:

a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ··· + a₁x + a₀ = 0

ضریب‌های a₀ تا a_n در این معادله چند جمله‌ای اعداد گویا هستند.اگر a_n = 1، به ریشه‌های معادلهٔ بالا عدد جبری صحیح گویند

 

  عدد پی

يکی ازمعروفترين ثابتهای رياضی می باشد.که در محاسبه عدد پی(از حروف يونانی)که درمحیط ومساحت دايره وبيضی وحجم ومساحت کره کاربرد دارد.نخستين تعريف عددپی (نسبت محيط دايره به قطرش)می باشداما اين ثابت پيچيده تر ازآن است که تعريف نشان می دهد.زيزا غيرممکن است که هم قطر وهم محيط دايره به صورت عددصحيح ياکسر محاسبه شود.از اين رو عددپی يک عدد اصم(گنگ)می باشد.درباره وجه نامگذاری اين عدد بايد گفت که نمادپی برای نسبت محيط دايره به قطر آن از اوايل قرن هيجدهم به کار رفته است. قديمی ترين سابقه تاريخی درموردعددپی پاپيروسی است که اکنون در مسکو نگهداری می شود.دراين سند محاسبه محيط دايره توسط مصريان ارائه شده است که برابر ۳ ميباشد .درمحاسبه بابليان نيز اين مقدار۳ فرض شده است.که از کوششهای تجربی نتيجه گرفتند.روی پاپيروس ديگری که متعلق به۱۷۰۰ سال پيش از ميلاد است مصريان مساحت دايره را از فرمول زير محاسبه می کردند.   مساحت  = ( قطر - ۱ / ۹ ) به توان ۲ يا     مساحت =  شعاع × شعاع ×  ۸۱ /  ۲۵۶    كه تقريبا برابر    ...۱۶۰۵۰/۳ می باشد. 

هنگام تردد با ماشين در خيابان هاي تهران علاوه بر مراقبت دائمي رفتار رانندگان ماشين هاو موتور سواران، نگراني مهم ديگري نيز ذهن ما را به خود مشغول مي سازد كابوس گرفتار شدن در دست اندازها، چاله هاي گاه به عمق گودال ماريان، سرعت گيرهاي متعدد فرساينده روح ... است. البته تداوم موانع و مسائل مذكور نشان دهنده كاركرد آنها در سيستم -و يا به قول كارشناسان اين رشته ناوگان - حمل و نقل كشور است زيرا در غير اين صورت فكري براي آن مي شد. اما انكار نمي توان كرد اين كاركرد مفروض ، جز از راه خسارت به صاحبان وسايل نقليه، مسافران حاصل نمي شود. خسارتي كه حداقل آن خرابي جلوبندي ماشين ها بوده و ضرورت تعمير مرتب آن، در نتيجه افزايش هزينه هاي سالانه تعمير و نگهداري ماشين است . اما اين سوال پيش مي آيد كه مسئول خسارت به صاحبان وسايل نقليه كيست؟ و اين خسارت سالانه را چه كسي بايد به پردازد؟

۱.    اعداد اول:

عدد اول (به انگلیسی: Prime number) عددی طبیعی (Natural number) است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن ضابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹.

قضیه‌ها

·                     قضیه ۱: تعداد اعداد اول بی‌نهایت است. به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:فرض خلف : اعداد اول متناهی است.اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.P₁,P₂,P₃,...,P_nضرب اعداد از P_i بزرگ‌تراست.که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

·                     قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را می‌توان به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.

·                     قضیه ۳ (قضیه چبیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.

·                     قضیه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.

·                     قضیه ۵. هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)

·                     قضیه ۶-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت.

خواص اعداد اول

1-مجذور هر عدد اول برابر است با ۲۴n+۱.

کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ 43میلیون و ‪ 112هزار و ‪ 609منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک استگ گروه محاسباتی سراوان دیتا که یک گروه محاسباتی ارانی می‌باشد که در زمینه‌های مختلف محاسباتی از جمله اعداد اول فعالیت می‌کند اعداد بسیاری را کشف و محاسبه کرده از جمله تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون که از لینک زیر قابل دانلود می‌باشند تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون

جایزه‌ها برای پیدا کردن اعداد اول

موسسه Electronic Frontier Foundation جایزه‌ای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل 10 میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته است.همچنین مبلغ 150 هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با 100 میلیون رقم و 250 هزار دلار برای 1 میلیارد رقم در نظر گرفته شده است.این موسسه ممکن است مبلغ 100 هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول 13 میلیون رقمی شدند پرداخت کند.

الگوهای توزیع اعداد اول

یکی از مسائل مورد توجه ریاضی‌دانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ می‌رسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ می‌رسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف می‌گردد.

مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست می‌آیند؟ طولانی ترین رشته‌ای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود می‌آید و می‌توان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضی‌دان اثبات کرده‌اند برای هر رشته از اعداد اول می‌توان به یک رشته عددی رسید.

1.      :اعداد صحیح

مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {0} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می‌شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می‌دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی‌ست.شاخه‌ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می‌پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد

همانند اعداد طبیعی،Z نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به Zتعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اماZ تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.

برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل‌خواه هستند:)

مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت‌پذیری و جابه‌جایی (یا تعویض‌پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو معکوس فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع‌پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردار اند.

در مبحث جبر مجرد، پنج خاصیّت اوّل در مورد جمع، نشان می‌دهد که مجموعهٔ Zبه همراه عمل جمع یک گروه آبلی است. امّا، از آن جا کهZ نسبت به ضرب عضو وارون (یا معکوس) ندارد، مجموعهٔ اعداد صحیح، به همراه عمل ضرب، گروه نمی‌سازد.

مجموعهٔ ویژگیهای ذکر شده حاکی از این است که Z، به همراه عملیّات ضرب و جمع، یک حلقه است، امّا، به دلیل نداشتن وارون ضربی، میدان نیست. مجموعهٔ اعداد گویا را باید کوچک‌ترین میدانی دانست که اعداد صحیح را در بر می‌گیرد.

اگرچه تقسیم معمولی در اعداد صحیح تعریف شده نیست، خاصیّت مهمّی در مورد تقسیم وجود دارد که به الگوریتم تقسیم مشهور است. یعنی به ازاء هر دو عدد صحیح و دل‌خواه a و b) b مخالف صفر)، q و r منحصر به فردی متعلق به مجموعه اعداد صحیح وجود دارد، به طوریکه: a = q.b + r که در این جا، q خارج قسمت و r باقیمانده تقسیم a بر b است. این کار اساس الگوریتم اقلیدس برای محاسبه بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک را تشکیل می‌دهد.

همچنین در جبر مجرد، بر اساس خواصی که در بالا ذکر شد، Zیک دامنه اقلیدسی است و در نتیجهZ دامنه ایده‌آل اصلی می‌باشد و هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک را می‌توان به طور یکتا به حاصل‌ضرب اعداد اوّل تجزیه کرد (قضیه اساسی علم حساب.)

کاردینال Z

کاردینال(تعداد از اعضای مجموعه) مجموعه ی Z، برابر الف صفر است . این یعنی که تعداد اعضای این مجموعه با تعداد اعضای مجموعه های N،WوQ برابر است.

1.   کمیت:

 کَمّیَت یا چَندی در لغت به معنای مقدار می‌باشد و معمولاً در برابر واژهٔ کیفیت به کار می‌رود.در فیزیک هر چه که قابل اندازه گیری باشد ، کمیت و در مقابل ، هرچه که نتوان اندازه گیری کرد کیفیت نامیده می شود. کمیت را می‌توان با یک عدد نشان داد و برای تعیین این مقدار نیاز به واحد (یکا) آن کمیت داریم.کمیت و کیفیت را در فارسی چند و چون نیز می‌گویند.

که شامل:

1.  ‌مجموعه:

 از آگزیوم (اصول تعریف‌ناپذیر) در ریاضیات است.

به هر گردایه یا دستهٔ مشخص از اشیاء دو به دو متمایز گفته می‌شود. مفهوم مجموعه با وجود سادگی آن از مفاهیم پایه‌ای ریاضی است.

نظریه مجموعه در اواخر سده ۱۹ مطرح شد و اکنون یکی از بخش‌های اصلی آموزش ریاضیات است.

مجموعه گردایه‌ای از اشیاء متمایز است. این اشیاء، عضو‌ها یا عناصر مجموعه نامیده می‌شود. اعضای یک مجموعه ممکن است هر چیزی باشد. مثلاً اعداد، افراد، حروف الفبا، مجموعه‌ای از حقایق مجموعه‌های دیگر و جز اینها، بنابر این منظور از اشیاء در تعریف مجموعه لزوماً اشیاء مادی نیست بلکه هر نهادی را هرچند انتزاعی و کاملاً ذهنی (همچون اعداد) می‌توان در ریاضیات یک شیء دانست و گردایه آن اشیاء را مجموعه‌ای دانست.

معمولاً مجموعه‌ها را با حروف بزرگ لاتین مانند A، B،C نشان می‌دهیم. دو مجموعه Aو B برابر هستند اگر اعضای آن یکسان باشند.

تعریف هر مجموعه

یک مجموعه را می‌توان با عباراتی به شکل زیر تعریف کرد:

·       Aمجموعه نخستین ۴ عدد طبیعی است.

·       B مجموعه‌ای است که اعضای آن رنگ‌های پرچم ایران است.

همچنین می‌توانیم اعضای مجموعه را میان دو کروشه قرار دهیم:

·        {۱,۲,۳,۴} = C

·        {سبز، سفید، قرمز} = D

البته دو تعریف گوناگون؛ هر دو می‌توانند نشان دهنده یک مجموعه باشند. مثلاً برای مجموعه‌هایی که در بالا تعریف کردیم، Aو C یکسان هستند زیرا عناصرشان با هم برابر است (A=C). همچنین به طور مشابه B = D . توجه کنید که در یک مجموعه، جابه جایی عناصر و نوشتن اعضای تکراری تأثیری در خواص مجموعه ندارد. به عنوان مثال:

{۱۱,۶}={۶,۱۱}={۶,۱۱,۶,۶}

حال فرض کنید E مجموعه نخستین هزار عدد طبیعی باشد. برای نمایش چنین مجموعه‌های بزرگ (که تعداد اعضای آنها زیاد است)، نوشتن همه عناصر مجموعه غیرعملی است. بنابراین Eرا به طور خلاصه به این شکل نمایش می‌دهیم:{۱۰۰۰,...,۱,۲,۳} = E

معمولاً این شکل نوشتن برای مجموعه‌هایی به کار می‌رود که اعضای آن الگوی مشخصی را دنبال می‌کنند که برای همه واضح است. اما در مجموعه‌هایی مانند{۴-,۳-,۰,...,۳۵۷ }=F به راحتی نمی‌توان تشخیص داد که "F مجموعه نخستین ۲۰ عددی است که چهار واحد کمتر از مربع عدد دیگری ست". در چنین مواردی برای نمایش اعضای مجموعه از علائم ریاضی استفاده می‌کنیم:

 F ={n^۲-۴: 0 <= n <= ۱۹} , nЄN

یعنی: F مجموعه اعدادی به شکل n^۲-۴ است به طوریکه n به اعداد طبیعی بین ۰ و ۱۹ تعلق دارد.

 

1.     تابع:

تابع، یکی از مفاهیم نظریه مجموعه‌ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال است. بطور ساده می‌توان گفت که به هنجار(قاعده)‌های تناظری که به هر ورودی خود یک، و فقط یک، خروجی نسبت می‌دهند، تابع گفته می‌شود.
تابع را می‌توان به عنوان هنجاری خاص برای تناظر بین اعضای دو مجموعهٔ دامنه و برد تعریف کرد. به بیان دقیق‌تر، اگر A و B دو مجموعه باشند، یک تابع از مجموعهٔ A به مجموعهٔ B را می‌توان هنجاری تعریف کرد که به هر عضو مجموعه A چون a یک و فقط یک عضو از مجموعه B را چون (f(a نسبت می‌دهد. تابع f از مجموعه A به مجموعه B را با نشان می‌دهیم.

تابع f به عنوان هنجار تناظر، چیزی بجز توصیف نحوه تناظر اعضای A به B نیست که به طور کامل به‌وسیله همه زوج‌های مرتب ((a,f(a) برای هر a∈A مشخص می‌شود پس تابع f را می‌توان به عنوان مجموعه همه این زوجهای مرتب، یعنی مجموعه همه زوج‌های مرتبی که مولفه اول آنها عضو A بوده و مولفه دوم آنها تصویر مولفه اول تحت تابع f است، تعریف کرد. شرط تابع بودن تضمین می‌کند که هیچ دو زوج متمایزی در تابع f دارای مولفه اول یکسان نخواهند بود.

در این صورت در تابع f:A→B برای هر a∈A گزاره a,b)∈f) را به صورت (b=f(a نشان می‌دهیم.

 

تعریف دقیق

یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y رابطه‌ای چون f از مجموعه X به مجموعه Y است که دارای شرایط زیر باشد:

1.     دامنه f مجموعه X باشد، یعنی domf=X.

2.    برای هر x∈X عنصر یگانه y∈Y موجود باشد که x,y)∈f) یا به عبارتی هیچ دو زوج مرتب متمایزی متعلق به f دارای مولفه اول یکسان نباشند. شرط یگانگی را به طور صریح می‌توان یه این صورت فرمول بندی کرد که اگر x,y)∈f) و x,z)∈f) آنگاه y=z.

علامت‌ها

برای هر x∈X یگانه عضو y در Y که به ازای آن x,y)∈f) را با (f(x نشان می‌دهیم. در مورد تابع این علامت گذاری، سایر علامت گذاری‌هایی را که در مورد روابط کلی تر استفاده می‌شوند چون x,y)∈f) یا xfy را متروک ساخته‌است. از این پس اگر f یک تابع باشد، بجای x,y)∈f) یا xfy می‌نویسیم (y=f(x. عضو y را مقدار تابع به ازای متغیر یا شناسه x، یا تصویر x تحت f می‌گوییم و نیز x را پیش نگاره y می‌گوییم.

اگر f تابعی از مجموعه X به(در یا به توی) مجموعه Y باشد، این مطلب را به صورت سه تایی (f,X,Y) یا به طور معمول تر برای توابع با f:X→Y نشان می‌دهیم.

مشخص کردن تابع

برای مشخص کردن یک تابع باید دامنه و ضابطه آن را بشناسیم. منظور از ضابطه یک تابع f:X→Y، فرمول و یا دستوری است که برطبق آن برای هر x∈X، مقدار تابع f در x یعنی (f(x تعیین می‌شود. ضابطه تابع را می‌توان به صورت یک گزاره جبری، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب یا یک رابطه بازگشتی مشخص کرد.

به این ترتیب برای مشخص کردن یک تابع از مجموعه X به مجموعه Y می‌نویسیم f:X→Y و سپس ضابطه آن را ذکر می‌کنیم.

در مواقعی که بیم ابهام نرود دامنه تابع ذکر نشده و به ذکر ضابطه تابع بسنده می‌شود. مثلاً عرف بر این است که در حساب دیفرانسیل و انتگرال دامنه توابع در صورت ذکر نشدن اعداد حقیقی یا بازه‌ای از اعداد حقیقی باشد.

برای نمایش بهتر، تابع را که خود یک هنجار (قاعده) برای تناظر است با f نشان می‌دهیم و ورودی یا شناسهٔ این تابع را با x نشان می‌دهیم که ممکن است عدد هم نباشد. یگانه مقدار خروجی که هنجار f به ورودی x نسبت می‌دهد را بجای y این‌بار با (f(x نشان می‌دهیم و آن را مقدار تابع f در x یا تصویر x تحت تابع f می‌گوییم. همچنین از این پس به هنجاری(قاعده‌ای) که هر x را به (y=f(x نسبت می‌دهد ضابطه تابع می‌گوییم.

نباید تابع را با ضابطهٔ آن اشتباه کرد. به عنوان مثال در مثال بالا f معرف خود تابع و گزاره (f(x معرف ضابطه تابع است.

دامنه و برد تابع

یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم دامنه (تابع) و برد همانگونه که برای روابط در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به تعریف دامنه تابع f که با domf نموده می‌شود، همان مجموعه X است. برد تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ranf یا Imf نشان می‌دهیم

اما همانطور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y همدامنه تابع f می‌گویند و آن را با codomf نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

به عنوان مثال فرض کنید {X={۱٬۲٬۳ و {Y={a,b,c,d و تابع f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c تعریف شده باشد. وضوحاً دامنه این تابع مجموعه X است(می‌توان برای تعیین آن مجموعه همه مولفه‌های اول زوج‌های مرتب f را در نظر گرفت) ولی برد آن بنابه تعریف مجموعه {a,b,c} است که آشکارا زیرمجموعه حقیقی Y است.(یعنی زیرمجموعه آن است ولی با آن برابر نمی‌باشد)

در حقیقت برد تابع f مجموعه همه مولفه‌های دوم زوج مرتب‌های f است. مجموعه همه عناصری از Y که به ازای یکx∈X داشته باشیم (y=f(x.

تساوی دو تابع

فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند. در این صورت تساوی f=g، تساوی بین دو مجموعه است و لذا f=g اگر و فقط اگر اعضای f و g یکسان باشند. یا به عبارتی دو تابع f و g با هم برابرند اگر و تنها اگر دامنه‌شان با هم برابر باشد و برای هر x از دامنه مشترکشان، (f(x)=g(x.

تحدید و توسیع

فرض کنید f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد. در این صورت یک روش برای ساختن تابعی چون g از مجموعه A به مجموعه Y این است که برای هر g(x)، x∈A را مساوی (f(x تعریف کنیم. یعنی تابع g:A→Y با ضابطه (g(x)=f(x. بر خواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. ممکن است راه دیگری نیز برای بیان این مطلب بیابیم و آن این است که دامنه تابع f را به زیرمجموعه A از X تقلیل دهیم. در این صورت تابعی خواهیم داشت که این بار نه بر روی همه اعضای X بلکه فقط بر روی عناصر زیرمجموعه خاصی از X یعنی A اثر می‌کند و لذا دامنه آن از X به A تغییر می‌یابد. چنین تابعی را که همان g است تحدید تابع f به مجموعه A می‌گوییم و آن را با f|A یا f_|A نشان می‌دهیم. با این نمادگذاری داریم g=f_|A. همچنین تابع f را توسیع تابع g به مجموعه X می‌گوییم.

بنابراین مفاهیم تحدید و توسیع دو مفهوم متقابل به هم می‌باشند. تحدید یک تابع به زیرمجموعه‌ای از دامنه خود همواره یک تابع است اما توسیع دامنه یک تابع به یک مجموعه جدید که دامنه تابع قبل زیرمجموعه‌ای از آن است همواره تابع نمی‌باشد ولذا در مورد توسیع توابع احتیاط بیشتری لازم است. به طور کلی اگر f:A→Y یک تابع باشد توسیع تابع f به مجموعه X تابعی چون g با دامنه X است، به طوری که تحدید g به مجموعه A برابر تابع f باشد یعنی g_|A=f.

هچنین می‌توان همدامنه یک تابع را نیز تحدید کرد البته در این کار احتیاط لازم است، چراکه نباید اعضایی را که متعلق به برد تابع است را حذف نمود. اما اگر f:X→Y یک تابع باشد، با تحدید Y به (f(X که همان برد تابع f است می‌توان تابع (f:X→f(X را تشکیل داد که پوشا نیز هست.

تصویر و تصویر معکوس

اگر f:X→Y یک تابع و A زیرمجموعه‌ای از X باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر A تحت f می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع f روی هر عضو مجموعه A حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را تصویر یا نگاره A تحت تابع f می‌گوییم و آن را با (f(A نشان می‌دهیم.بنابر این (y∈f(A اگر وفقط اگر به ازای y= f(x)، x∈A

به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت:

{(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c),(۴,d),(۵,d

تعریف شود و زیرمجموعه A از X به صورت {A={۱٬۳٬۴ در نظر گرفته شود در این صورت:

{f(A)={f(۱),f(۳),f(۴)}={a,c,d

حال چون X نیز یک زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان (f(X را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند که بنابه تعریف همان برد تابع f یعنی ranf است. به این ترتیب برد f را می‌توان تصویر X تحت تابع f تعریف کرد.

اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای

بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X_۱,X_۲,X_۳,...,X_n افراز کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈X_i به صورت (f(x)=f_i(x تعریف کنیم که در آن f_i تابعی با دامنه X_i است.در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.

در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر f_i,i∈I تابعی با دامنه A_i باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع f_i برای هر i∈I را با دامنه را به صورت برای هر x از دامنه به صورت(f(x)=f_i(x اگر x∈A_i تعریف کرد. در ادامه نمونه‌هایی از توابع چند ضابطه‌ای را خواهید دید.

نمودار تابع

شکل1. نمودار پیکانی یک تابع

منظور از نمودار یک تابع f:X→Y به تصویر کشیدن تناظری است که f بین دو مجوعه X و Y ایجاد می‌کند. برای این کار برای همه روابط و بلاخص توابع عموماً از نمودار پیکانی استفاده می‌شود. برای رسم نمودار پیکانی تابع f:X→Y، دو منحنی بسته، نظیر آنچه در نمودار ون استفاده می‌شود را برای نمایش مجموعه X و Y انتخاب می‌کنیم و عناصر هر یک را به‌وسیله نقاطی در آنها مشخص می‌کنیم. سپس بین هر عضو x∈X و (f(x یک پیکان از x به (f(x به نشانه تناظر بین آن دو رسم می‌کنیم. به عنوان مثال اگر {X={۱٬۲٬۳٬۴٬۵ و {Y={a,b,c,d,e و f:X→Y به صورت {(f={(۱,a),(۲,b),(۳,c),(۴,d),(۵,d تعریف شده باشد نمودار پیکانی آن به صورت مقابل است.

شکل ۴. نمونه‌ای از نمودار یک تابع حقیقی در دستگاه مختصات دکارتی

این روش گرچه مناسب است ولی برای نمایش همه توابع بویژه توابعی با دامنه اعداد حقیقی(و به طور کلی توابعی که عددی هستند) چندان کاربرد ندارد. اگر f تابعی با دامنه اعداد حقیقی R باشد آن را تابع حقیقی می‌گوییم و برای نمایش نمودار آن از دستگاه مختصات دکارتی استفاده می‌کنیم و روش کار به این صورت است که برای هر x∈R زوج مرتب ((x,f(x) که نماینده نقطه‌ای در صفحه دکارتی است را رسم می‌کنیم و به این ترتیب نمودار تابع f حاصل می‌شود. رسم نمودار تابع، باعث می‌شود دیدی کلی نسبت به آن تابع پیدا کنیم و همچنین بسیاری از خواص مربوط به توابع بویژه توابع حقیقی مانند پیوستگی، مشتق پذیری، نقاط بحرانی و عطف، صعودی یا نزولی بودن و... از روی نمودار آنها قابل تعیین است. به عنوان مثال با بررسی شکل (۴) می‌توان گفت این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است، این تابع در سراسر دامنه خود پیوسته و مشتق پذیر است، دارای دو نقطه بحرانی و یک نقطه عطف است و....

 

همچنین از روی نمودار یک رابطه می‌توان تابع بودن آن را بررسی کرد. به عنوان مثال نمودار شکل (۱) معرف یک تابع نیست، زیرا عضو ۳ به دو مقدار متناظر شده‌است. همچنین در نمودار رسم شده در دستگاه دکارتی در شکل (۵)، برای هر عدد حقیقی مثبت x دو مقدار وجود دارد. به طور کلی یک نمودار در دستگاه مختصات دکارتی یک تابع است اگر هر خط عمودی مرسوم بر محور x‌ها نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

اگر دامنه تابع f دارای بعد n و برد آن دارای بعد m باشد،نمودار تابع f دارای بعد n+m خواهد بود.

فضای توابع

اگر X و Y دو مجوعه باشند مجموعه همه توابع از مجموعه X به مجموعه Y را با Y^X نشان می‌دهیم.

عدد اصلی این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد

 card(Y^X) = (cardY)^cardX

از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر X مجوعه‌ای n عضوی و Y مجموعه‌ای m عضوی باشد تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه X به مجموعه Y برابر است با mⁿ که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع f:X→Y را تعریف کنیم هر عضو از n عضو مجموعه X چون x∈X، را می‌توان به m طریق به یک عضو از مجموعه Y نسبت داد. پس بنا بر اصل شمارش تعریف چنین تابعی به mⁿ طریق ممکن خواهد بود.

توابع دو (یا چند) متغیره

عباراتی چون f(x,y) = sin(xy) یا f(x,y,z) = x² + y² + z² را در نظر بگیرید. هر یک از آنها دو یا بیش از دو متغیر از دامنه می‌پذیرند و یک مقدار یگانه را به آنها نسبت می‌دهند. گاهی ممکن است تابع بجای یک شناسه دو یا چند شناسه را به بپذیرد و آنها را به یک عضو از برد خود نسبت دهد، در این صورت تابع را دو یا چند متغیره می‌گوییم. چنین توابعی رابطه‌ای بین بیش از دو مجموعه هستند. به عنوان مثال تابع اول را می‌توان تابعی به صورت f:R×R→R توصیف کرد که در این صورت تابع زوج (x,y) را به عنوان شناسه خود می‌پذیرد و آن را به عضوی از R نسبت می‌دهد که در این صورت اعضای تابع f را می‌توان به صورت سه تایی ((x,y,f(x,y) نشان داد

پیشینه

تابع به عنوان مفهومی در ریاضیات، توسط گوتفرید لایبنیتس در سال ۱۶۹۴، با هدف توصیف یک کمیت در رابطه با یک منحنی مانند شیب یک نمودار در یک نقطه خاص به وجود آمد. امروزه به توابعی که توسط لایبنیز تعریف شدند.

واژه تابع بعدها توسط لئونارد اویلر در قرن هجدهم، برای توصیف یک گزاره یا فرمول شامل متغیرهای گوناگون مورد استفاده قرار گرفت، مانند f(x) = sin(x) + x^۳.

در طی قرن نوزدهم، ریاضی‌دانان شروع به فرمول بندی تمام شاخه‌های ریاضی براساس نظریه مجموعه‌ها کردند. وایراشتراس بیشتر خواهان به وجود آمدن حساب دیفرانسیل و انتگرال در علم حساب بود تا در هندسه، یعنی بیشتر طرفدار تعریف اویلر بود.

در ابتدا، ایده تابع ترجیحاً محدود شد. ژوزف فوریه مدعی بود که تمام توابع از سری فوریه پیروی می‌کنند در حالی که امروزه با گسترش تعریف توابع، ریاضی‌دانان توانستند به مطالعه توابعی در ریاضی بپردازند که که در سراسر دامنه خود پیوسته ولی در هیچ نقطه‌ای مشتق‌پذیر نیستند این گونه توابع توسط وایراشتراس معرفی شدند. کشف چنین توابعی موجب شد تا توابع تنها به توابع پیوسته و مشتق‌پذیر محدود نشوند.

تا انتهای قرن نوزدهم ریاضی‌دانان در هر موضوع ریاضی به دنبال تعریفی بودند که براساس نظریه مجموعه‌ها و نتایج آن باشد. دیریکله و لوباچوسکی هر یک به طور مستقل همزمان تعریف «رسمی» از تابع ارائه دادند.

بر طبق این تعریف، تابع حالت خاصی از یک رابطه است که در آن برای هر مقدار اولیه یک مقدار ثانویه منحصر به فرد وجود دارد.

تعریف تابع در علم رایانه، به عنوان حالت خاصی از یک رابطه، به طور گسترده‌تر در منطق و علم تئوری رایانه مطالعه می‌شود.

در سایر علوم

توابع در شاخه‌های مختلف علوم کاربرد فراوان دارند. برای مثال در فیزیک، هنگامی که می‌خواهیم رابطه بین چند متغیر را بیان کنیم، مخصوصاً هنگامی که مقدار یک متغیر کاملاً وابسته به متغیرهای دیگر است از توابع استفاده می‌شود.

توابع در علوم مختلف بیشتر به عنوان عملگر در نظر گرفته می‌شوند که کاری را بر روی ورودی‌های خود انجام می‌دهند. توابع را همچنین مورد استفاده در علم رایانه برای مدل‌سازی ساختمان داده‌ها و تأثیرات الگوریتم می‌بینیم.

 

 

سال ها قبل که هنوز تب مسابقات باشگاهی فوتبال چنین همه گیر و شایع نشده بود و تعداد برنامه ها و گزارشگران تلویزیون اندک بودند، با علاقه تمام گزارش کسانی چون آقای عطاءالله بهمنش، مانوک خدابخشیان، مجید وارث و این اواخر جهانگیر کوثری را تعقیب می کردم . گزارشگرانی که علاوه بر گزارش بازی ، نکات فنی را نیز برجسته می نمودند. به ویژه آنان کمتر گرایش مثبت یا منفی خود را به بیینده منتقل می نمودند. نکته ای که امروزه کمتر شاهد آن هستیم و اغلب گزارشگران پر شمار رادیو و تلویزیونی ، گرایشات خود را چاشنی کار می نمایند. بدتر از همه لحن تحقیر آمیزی است که این عزیزان نسبت به تیم مغلوب به کار می برند گویی همچون مانی معتقدند " همیشه حق با برنده است" و اگر تیمی در زمین بازی نتیجه را واگذار کرد می بایست در میادین دیگر (اجتماعی و اخلاقی) نیز نابود شود. اما جالب تر از همه شباهت بسیار زیاد شیوه کار گزارشگران فوتبال (و سایر مسابقات ورزشی) با عملکرد سازمان صدا و سیما است !!